标准差是什么,样本标准差分母为什么是N-1

我们在统计数据总体的时候,因为每一个数据都在使用,计算出来的标准差和方差能够准确的反映整个数据集的特征。当从总体中抽取一个样本时,样本中的数据会在一定程度上集中在一定范围内,因此计算出的标准差和方差不能准确反映数据的整体情况,一般来说,结果会小于整体情况。

比如一个数据集满足正态分布,那么我们在提取样本的时候,数据基本会集中在中间部分,边缘值的个数可能会少一些,所以最终的样本方差和标准差会小于整体。为了纠正这种偏差,我们在计算样本的方差和标准差时将使用n-1而不是n。经过这样的处理,最直接的结果就是公式中的分母变小,得到的结果也会变大,这样通过这个样本就可以更准确地预测全局。

对随机变量x进行n次采样以获得样本

,则样本平均值为

有偏差的样本方差为:

无偏样本方差为:

首先,声明期望的两个重要属性:

定义公式:

那么:

设置:

为了证明,我还需要样本平均值平方的期望值:

在继续之前,我可以找到平均值的期望值和平均值的方差的表达式:

期望值运算符是线性的:

同样地:

所以:

还是那句话:

前面已经获得:

我们知道:

我用前面的结果表明除以n-1可以提供无偏估计:

样本方差的期望值等于无偏估计的总体方差。

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